矩阵

# 线性变换和矩阵

# 线性方程组

$$\begin{cases}{4}a_{11}&x_1+&a_{12}&x_2+...+a_{1n}x_n=&b_1\\a_{21}&x_1+&a_{22}&x_2+...+a_{2n}x_n=&b_2\\...&...\\a_{m1}&x_1+&a_{m2}&x_2+...+a_{mn}x_n=&b_m\end{cases}$$

形如上述方程组的方程组是线性方程组。当常数项$b_1,b_2,...b_m$ 全部等于 0 时，上述线性方程组为 n 元非齐次线性方程组。当常数项均为 0 时，该式为 n 元齐次线性方程组。

对于线性方程组，我们需要讨论：

1. 它是否有解？
2. 在有解时该解是否唯一？
3. 如果有多个解，如何求出它的所有解？

需要注意的是，对于线性方程组，上述三个问题的答案完全取决于其式中的$m*n$ 个系数和右端的常数项$b_1,b_2,...b_m$。或者说，完全取决于它们构成的矩形数表:

$$\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_{m}\end{matrix}$$

另外，对于齐次线性方程组，相应问题的答案完全取决于：

$$\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{matrix}$$

# 矩阵

$$\bold{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$$

• 如上由$m*n$ 个数排成的$m$ 行$n$ 列的数表称为$m$ 行$n$ 列矩阵（$m*n$ 矩阵）。
• 这$m*n$ 个数称为矩阵$\bold{A}$ 的元素（元），数$a_{ij}$ 位于$A$ 的第$i$ 行第$j$ 列，称为矩阵$\bold{A}$ 的$(i,j)$ 元。以数$a_{ij}$ 为$(i,j)$ 元的矩阵可简记为$(a_{ij})$ 或$(a_{ij})_{max}$，$m*n$ 矩阵$\bold{A}$ 也记作$\bold{A}_{m*n}$。
• 元素是实数 / 复数的矩阵称为实矩阵 / 复矩阵。
• 行数和列数都等于 n 的矩阵称为$n$ 阶矩阵或$n$ 阶方阵。$n$ 阶矩阵$\bold{A}$ 也记作$\bold{A}_{n}$。
• 只有一行的矩阵称作行矩阵（行向量）。为了避免元素间的混淆，行矩阵在表示时可以在元素间加逗号。类似地，只有一列的矩阵称作列矩阵（列向量）。
• 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称他们是同型矩阵；如果两矩阵既是同型矩阵，对应位置上的元素又相等，则这两个矩阵相等。
• 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作$\bold{O}$。

  不同型的零矩阵是不同的。

• 除对角线外的元素均是 0。这种矩阵叫做对角（矩）阵，也记作$\bold\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$
• 除对角线外的元素均是 0，且对角线上的元素均是 1。这样的方阵叫做单位矩阵，记作$\bold{E}$。任何矩阵与单位矩阵相乘，等于其自身。

# 线性变换

如$n$ 个变量$x_1,x_2,...,x_n$ 与$m$ 个变量$y_1,y_2,...,y_m$ 之间的关系式：

$$\begin{cases}{4}a_{11}&x_1+&a_{12}&x_2+...+a_{1n}x_n=&y_1\\a_{21}&x_1+&a_{22}&x_2+...+a_{2n}x_n=&y_2\\&\dots\\a_{m1}&x_1+&a_{m2}&x_2+...+a_{mn}x_n=&y_m\end{cases}$$

表示的是一个从变量$x_1,x_2,...,x_n$ 到$y_1,y_2,...,y_m$ 的线性变换。为了便于表示和理解，使用矩阵进行表示：

$$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}}_{\text{线性变换}}\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix}}_{\text{输入向量}}=\underbrace{\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix}}_{\text{输出向量}}$$

此处显然使用了矩阵相乘来计算$y_1,y_2,...,y_m$ 的值。但理解该式的意义并不需要会计算它。但为了方便理解，在这里提出：矩阵相乘需要左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数。

为了便于理解，我们需要先回忆一下高中学习的向量知识：

• 一个二维向量能够被表示为坐标，是因为它可以在向量空间中被表示为基向量$\hat{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\hat{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ 的和（$n$ 维向量同理）。由此，我们为了方便，将向量的一端固定在原点，记录向量另一端的坐标，即可表示相应的向量。

而线性变换即是对基向量的操作。它通过变换基向量变换整个空间。

使用单位矩阵进行举例：

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

使用分块法将矩阵分为两列：

$$\bold{E}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}\end{pmatrix}$$

其中$\hat{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\hat{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。
则有：

$$\bold{E}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\hat{i}+3\hat{j}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$$

为了推广到任意二阶矩阵，使用二阶方阵：

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

该矩阵作为线性变换的几何意义是将基向量$\hat{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ 和$\hat{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ 拉伸或压缩（也可简单理解为 “替换”）为$\hat{i}=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix},\hat{j}=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}$。因为空间（此处为平面）基于基向量展开，所以空间会被拉伸或压缩。在向量被输入到线性变换时：

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+3b\\2c+3d\end{pmatrix}$$

输出向量为经过该线性变换后输入向量在$\hat{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ 和$\hat{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ 的空间下的向量。

三阶矩阵同理：显然，其表示一个三维空间的线性变换。实际上其和二维空间大同小异，只是多了一个基向量$\hat{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$。

类似的，更高阶的线性变换也可以通过该过程理解（只不过无法给出直观的几何解释）。

# 与行列式的联系

# 行列式不等于 0

线性变换拉伸或压缩空间。显然，单位面积的大小发生了改变。此时，行列式的值就等于单位面积大小变化的倍率。有兴趣的可以在纸上画一下自己写出二维的情况（三维太难画了，算了吧）。

值得注意的是，行列式的值可以是负值，但我们平常提到体积和面积等单位的时候不存在负值。为了区别负值的情况，我们引入有向面积和有向体积这种概念。当$\hat{i}$ 和$\hat{j}$ 围成的平行四边形在$\hat{j}$ 以原点为中心的顺时针方向时，行列式为正；反之则为负。

类似地，在三维空间中，我们规定：如果变换后的平行六面体不再符合右手定则，则行列式为负。

# 行列式等于 0

行列式等于 0，代表该矩阵表示的线性变换将体积 / 面积挤压到没有了。例如：三维空间被挤压为一个平面，一条直线，甚至一个点。

# 非方阵表示的线性变换

虽然非方阵不存在行列式，但它们也可以表示线性变换。此时，它们表示不同维数之间的转换。

例如：

$$\begin{pmatrix}1&5&2\end{pmatrix}$$

这个线性变换接收三维空间的向量，将其映射到一条数轴上：

$$\begin{pmatrix}1&5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=17$$

又例如：

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\2&5&6\end{pmatrix}$$

这个线性变换同样接收三维空间向量，但将其映射到二维空间上：

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\2&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\30\end{pmatrix}$$

又例如：

$$\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\3&4\end{pmatrix}$$

这个线性变换接收二维空间向量，但将其映射到三维空间上：

$$\begin{pmatrix}1&2\\2&3\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\8\\11\end{pmatrix}$$

# 复合线性变换

线性变换可以复合。复合的方式就是矩阵相乘。

由于矩阵相乘不满足交换律，我们需要将先发生的变换写在右侧，将先发生的变换作为输入向量输入后发生的线性变换里。

在前面说明时已经用过使用分块法将线性变换拆成基向量的方法。在此，我们就是将线性变换拆成其代表的基向量后，分别代入后一线性变换的变换，从而得到复合的线性变换。例如：

$$\begin{pmatrix}1&6\\2&6\\3&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&8&2\\2&8&1\end{pmatrix}$$

其中，第一个线性变换（右侧）接收三维向量，将其映射到二维空间；第二个线性变换（左侧）接收二维向量，将其映射到三维空间。所以，它们的复合应该是一个三维到三维的线性变换，即应该是一个 3*3 的矩阵，即：

$$\begin{pmatrix}1&6\\2&6\\3&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&8&2\\2&8&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&56&8\\14&64&10\\15&72&12\end{pmatrix}$$

# 矩阵的运算

# 加法

设有两个$m*n$ 矩阵$\bold{A}=(a_{ij})$ 和$\bold{B}=(b_{ij})$，那么这两个矩阵的和记为$\bold{A+B}$，规定为：

$$\bold{A+B}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$$

即相应位置元素相加。显然，类型不同的矩阵不能相加。

矩阵加法满足交换律和结合律。

# 数乘

矩阵数乘，即矩阵和数相乘。我们将数$\lambda$ 和矩阵 A 的乘积记作$\lambda\bold{A}$ 或$\bold{A}\lambda$，规定为：

$$\lambda\bold{A}=\bold{A}\lambda=\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&...&\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&...&\lambda a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&...&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}$$

# 矩阵与矩阵相乘

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