1.函数与极限

# 映射与函数

# 映射

设$X$，$Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则$f$，使得对$X$ 中每个元素$x$，按法则$f$ 在$Y$ 中有唯一确定的元素$y$ 与之对应，那么称$f$ 为从$X$ 到$Y$ 的映射。记作：

$$f:X\to Y$$

其中$y$ 称为元素$x$（在映射$f$) 下的像；$x$ 称为元素$y$（在映射$f$）下的原像；集合$X$、$x$ 所有像的集合分别称为映射$f$ 的定义域和值域，分别被记作$D_f$ 和$R_f$

若$Y$ 中所有$y$ 都是$X$ 中某元素的像，则称$f$ 为$X$ 到$Y$ 上的映射或满射；若对$X$ 中任意两个不同元素$x_1\neq x_2$，他们的像不相等，则称$f$ 为$X$ 到$Y$ 的单射；若映射$f$ 既是单射又是满射，则称$f$ 为一一映射或双射。

映射又被称为算子。

# 逆映射

设$f$ 是$X$ 到$Y$ 的单射，按定义，我们可以定义一个从$R_f$ 到$X$ 的新映射$g$，即

$$g:R_f\to X$$

对于每个$y\in R_f$，规定$g(y)=x$，其中的$x$ 满足$f(x)=y$。这个映射$g$ 称为$f$ 的逆映射，记作$f^{-1}$，定义域$D_{f^{-1}}=R_f$，值域$R_{f^{-1}}=X$。
按上述定义，只有单射存在逆映射。

# 复合映射

设有两个映射

$$g:X\to Y_1\space\space\space f:Y2\to Z$$

其中$Y_1\subset Y_2$，则由映射$g$ 和$f$ 可以定义出一个从$X$ 到$Z$ 的对应法则，称为$g$ 和$f$ 构成的复合映射，记作$f\circ g$，即：

$$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)]$$

# 函数

函数定义不作赘述。总之，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么这两个函数相同。

# 函数特性

1. 有界性
   如果存在数$K_1$，使$f(x)\leq K_1$ 在定义域内某区间上均成立，则$f(x)$ 在该区间上有上界；如果存在数$K_2$，使$f(x)\geq K_2$ 在定义域内某区间上均成立，则$f(x)$ 在该区间上有下界。如果存在正数$M$，使$|f(x)|\leq M$ 在定义域内某区间上均成立，则称$f(x)$ 在该区间上有界；如果$M$ 不存在，则称$f(x)$ 在该区间上无界。
2. 单调性
3. 奇偶性
4. 周期性

# 反函数和复合函数

略。

# 函数的运算

乘除可以展开为乘除前函数代入自变量进行计算。

# 初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

# 数列的极限

# 定义

数列$\{a_n\}$，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（不论它多么小，即不论它多接近$0^+$），总存在正整数$N$，使得当$n>N$ 时，不等式

$$|x_n-a|<\varepsilon$$

都成立，那么称常数$a$ 是数列$\{a_n\}$ 的极限，或者称数列$\{a_n\}$ 收敛于 a。

如果不存在这样的常数$a$，就说数列$\{a_n\}$ 没有极限，或者说数列$\{a_n\}$ 是发散的。

# 收敛数列的性质

1. 极限的唯一性
   如果数列$\{a_n\}$ 收敛，那么它的极限唯一。
2. 收敛数列的有界性
   如果数列$\{a_n\}$ 收敛，那么数列$\{a_n\}$ 一定有界。
3. 收敛数列的保号性
   如果$\lim\limits_{n\to\infin}a_n=a$，且$a>0$（或$a<0$）
   推论：如果数列$\{a_n\}$ 从某项起有$a_n\geq 0$（或$a_n\leq 0$），且$\lim\limits_{n\to\infin}a_n=a$，那么$a\geq 0$（或$a\leq 0$）。
4. 收敛数列与其子数列间的关系
   如果数列$\{a_n\}$ 收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是$a$。